A maximális és minimális funkciók

Egy pont az úgynevezett maximális pontot, vagy minimum a funkciót. ha a szomszédságában vagy egyenlőtlenség volt. Függvény értékei egy olyan ponton az úgynevezett nagy (vagy kicsi) függvény. Maximális és minimális függvény az úgynevezett szélsőérték funkciót. Az értékek az érvelés, amelyre a függvény egy szélsőséges, az úgynevezett kritikus pontjai az első fajta.

Ahhoz, hogy megtalálja szélső értékei a funkció, meg kell találni annak származéka, és egyenlővé nullára, hogy megoldja az egyenletet. A gyökerek az egyenlet, és a pont, ahol a származék nem létezik, a kritikus pontokat, az első fajta.

Ha a megjelölés a származék, amikor áthalad a ponton változik a pozitív negatív, azaz a maximális pontot. Ha a jel a származék ponton áthaladó változik mínusz plusz, hogy a minimális pontot. Ha a jel nem változik, akkor nincs szélsőérték pont.

Néha könnyebb felfedezni a kritikus pont a jele a második derivált. Ha a kritikus pont, ahol az első derivált nulla. ez a minimum pontot. Ha. azaz a maximális pontot. Ha. akkor ezt a pontot az első derivált.

Ha ez a funkció be van állítva hallgatólagosan. majd annak érdekében, hogy. Az egyenlőséget. Itt van. és származékai a függvény. megtalálható a feltételezést, hogy, és nem függnek u. volt. Megoldása és. Találunk kritikus pontokat. Extremum a függvény a kritikus pont a jele a második derivált. Ha a kritikus pontot. ez a maximális pontot. Ha. ez egy minimális pontot.

1. példa Teszt extrémuma a függvény.

Megoldás: megtalálni a származékos és állítsa nullára. A gyökerek az egyenlet. Ezek a kritikus pontokat.

Amikor ponton áthaladó származék jel nem változik, mert ez a tényező négyzete, és amikor áthalad a ponton előjelet mínusz plusz. Szóval, a lényeg a funkció a minimum. Találunk a szélső értékek a funkció, azaz a függvény minimuma.

2. példa Teszt a szélsőérték a függvény.

Megoldás: megtalálni az első származékos és állítsa nullára. A gyökerek az egyenlet. . Ezek a kritikus pontokat. Keresse meg a második derivált, és meghatározza a jel a második derivált a kritikus pontokon - a funkció maximális; - funkció minimális; funkció a minimum. Határozzuk meg a szélső értéke a funkció: - maximum funkció; - legalább funkció; - minimum funkciókat.

3. példa Vizsgálati egy szélsőérték a függvény.

Megoldás: megtalálni az első származékot és azonosítja azt a nullához. A gyökerek az egyenlet. Ezek a kritikus pontokat. Mi egy második derivált jel, és meghatározzák a kritikus pontokat.

Azon a ponton, a második derivált - funkció maximum. Azon a ponton, a második derivált. Ezért lehetetlen megítélni a szélsőségeket. Elérhetőség szélsőérték az első derivált. Mert amikor áthalad a ponton az első derivált a jel nem változik, akkor nincs szélsőérték pont.

Mi határozza meg a maximális értéket pont funkció.

4. példa Teszt a szélsőérték a függvény.

Megoldás: A funkció határozza meg a teljes valós tengelyen. Találunk a származék. Azonosítjuk a származék nullára, és megtalálja a kritikus pontot. Amikor áthalad a ponton a deriváltja elõjelet mínusz plusz, így a pont funkció minimális.

Egyenlővé nullára a nevező a származék, megkapjuk. Ezért találunk a kritikus pont a funkciót. amelyben a származék nem létezik. Nyilvánvaló, hogy a pont-származék. és a származék a ponton. Ennélfogva, van egy maximális pont a funkciót.

5. példa Teszt extrémuma a függvény.

Megoldás: A függvény implicit. Keressen és. Származtatott mikor. azaz .

Megoldása az egyenletrendszert találunk kritikus. Kiszámoljuk a második derivált. A kritikus pont. if. és. if. Ez a függvény a legalább, és maximális.

Keresse meg a maximális és minimális funkciók: