Fourier-sor

A Fourier-sor periodikus függvények időszak 2π.

A Fourier-sor lehetővé teszi tanul időszakos (nem periodikus) funkciót, szétbontást komponenseket. Váltakozó áramú és feszültségű elmozdulás, sebesség és gyorsulás a forgattyús mechanizmus, és az akusztikus hullámok - ezek tipikus példái a gyakorlati alkalmazása a periodikus függvények a mérnöki számítások.

Fourier terjeszkedés azon a feltételezésen alapul, hogy mind a gyakorlati értéke a függvény a -π ≤x≤ π lehet kifejezni formájában összetartó trigonometrikus sor (a sorozat tekinthető konvergens, ha a sorozat részösszegek, levonni annak tagjai):

Normál (= normál) belépés átmenő sinx és cosx összeget

Hol tartomány -π a π együtthatók a Fourier sorozat képletek alapján számítandó:

Az együtthatók ao, AN és BN nevezzük Fourier-együtthatók. és ha megtalálható, akkor a sorozatot (1) az úgynevezett Fourier-sor megfelelő f (x). Számos (1) tagja (a1 cosx + b1 sinx) az úgynevezett első vagy alapharmonikus,

Egy másik módszer a felvétel több - felhasználásának aránya acosx + bsinx = csin (x + α)

Számos (1) tagja (a1 cosx + b1 sinx) vagy c1 sin (x + α1) az úgynevezett első vagy alapharmonikus, (a2 cos2x + b2 sin2x) vagy c2 sin (2x + α2) nevezzük második harmonikus, és így tovább.

A pontos ábrázolása a kompozit jel tipikusan egy végtelen számú feltételeket. Azonban sok gyakorlati problémát, csak az első néhány szempontból elegendő, hogy fontolja meg.

Bomlása nem periodikus függvények.

Ha f (x) függvény nem periodikus, akkor nem lehet bővíteni egy Fourier-sor minden értékére x. Azonban, meg lehet határozni a Fourier-sor képviselő funkciója bármilyen szélességben 2π tartományban.

Ha megad egy periodikus függvény, akkor létrehozhat egy új funkció, adja meg az értékeket az f (x) egy bizonyos tartományon belül, és azok megismétlésével ezen a tartományon kívül időközzel 2π. Mivel az új funkció periódusidővel 2π, akkor lehet bővíteni a Fourier-sor minden x értékei. Például, az f (x) = x nem periodikus. Azonban, ha ez szükséges, hogy terjeszkedni Fourier-sor a körülbelül a 2π, akkor az intervallum van kialakítva periodikus függvény egy időszak 2π (ábrán látható. Alább).

A nem-periodikus függvények, például az f (x) = x, az összege az Fourier sorozat értéke az f (x) minden pontján, egy előre meghatározott tartományban, de nem megegyezik az f (x) pontok tartományon kívül. Ahhoz, hogy megtalálja a számos nem-periodikus függvények Fourier 2π használt tartományban minden pontosan ugyanolyan képlet Fourier-együtthatók.

Az említett funkció y = f (x) is. ha f (-x) = f (x) minden x értékei. Grafikon még funkciók mindig szimmetrikus a y tengely (azaz, a tükörképe). Két példa is funkciók: y = x 2 és y = cosx.

Egy függvény y = f (x) páratlan, ha f (-x) = - f (x) minden x értékei. A grafikonok páratlan funkciók mindig szimmetrikusak a származás.

Több funkció sem egyenletes, sem furcsa.

A Fourier-sor páros periodikus függvény f (x) az időszakban 2π tartalmaz csak viszonyban koszinuszok (azaz nem tartalmaz tagjai orrmelléküregek), és tartalmazhat egy konstans. ezért

ahol az együtthatók a Fourier-sor,

A Fourier-sor páratlan periodikus függvény f (x) az időszakban 2π tartalmaz csak viszonyban szinuszok (azaz nem tartalmaz viszonyban koszinuszok).

ahol az együtthatók a Fourier-sor,

Ha a funkció meghatározott tartományban, például 0 és pi, és nem csak a 0 és 2P, bővíthető egy sor csak szinuszos vagy koszinuszos Tolo. A kapott Fourier nevezik Fourier-on fél ciklusban.

Ha azt szeretnénk, hogy egy Fourier bomlást félciklushoz koszinusz függvény f (x) a 0-tól π, szükség van egy még periodikus függvény. Ábra. táblázat mutatja az f (x) = x, alapuló olyan x = 0 és x = π. Egy még funkciót szimmetrikus tengelyéhez f (x), akkor tartsa a vonalat AB, ábrán látható. alább. Feltételezve, hogy a külső a meghatározott intervallumon kapott háromszög alakja van periódusidővel 2π, majd a kapott gráf mutató nézet. Ábra. alább. Mivel úgy elbontására Fourier koszinusz, mint korábban, kiszámíthatjuk a Fourier-együtthatók ao és

Ha azt szeretnénk, hogy egy Fourier bomlást fél ciklus szinusz függvény f (x) a 0-tól π, szükség van egy furcsa periodikus függvény. Ábra. táblázat mutatja az f (x) = x, épült a tartományban x = 0 és x = π. Mivel páratlan függvény szimmetrikus az eredetét, építeni CD vonal, ábrán látható. Feltételezve, hogy a külső a meghatározott intervallumon kapott rámpa jel periódusidővel 2π, a végső ütemezés ábrán látható módon. Mert ahhoz, hogy kapjunk egy expanziós Furie félciklusban szinusz, mint korábban, a rendszer kiszámítja a Fourier együttható. b

A bővítés a periodikus függvény egy időszak L.

Periodikus függvény f (x) megismételjük növekvő x L, azaz f (x + L) = f (x). Az átmenet a funkciók korábban tárgyalt periódussal 2π funkciókat időszak L elég egyszerű, mert lehet elérni azáltal, hogy a változó.

Ahhoz, hogy megtalálja a Fourier-sor f (x) tartományban -L / 2≤x≤L / 2, bemutatjuk az új, változó u oly módon, hogy az f (x) egy időszak 2π képest u. Ha u = 2πh / L, akkor x = -L / 2 u = -π és X = L / 2, u = π. Továbbá, legyen f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). A Fourier-sor F (u) adják

Ha az együtthatók a Fourier-sor,

Azonban gyakran fenti képlet vezet függőség x. Mivel u = 2πh / L, átlag, du = (2π / L) dx, és az integrációs határok - -L / 2-L / 2 helyett a - π a π. Következésképpen a Fourier a függőség x adják

ahol tartományban -L / 2-L / 2 együtthatói Fourier-sor,

(Az integrációs határok helyettesíteni lehet bármilyen intervallumban L hosszúságú, például 0 L)

A Fourier-sor fél-hullám meghatározott feladatok tartományban L ≠ 2π.

Helyettesítésére u = πh / L tartományban x = 0 és x = L megfelel az intervallum u = 0 és u = π. Ezért, a funkció bővíthető száma csak cosinus, vagy szinusz csak, azaz a Fourier-on fél ciklusban.

Bomlása koszinusz tartományban 0 és L jelentése az űrlap