A bizonyítás az egyenlőtlenség
Igazoljuk, hogy az \ (x> 0 \) egyenlőtlenséget \ (1 + 2 \ ln x \ le \).
Vezessük be a függvény \ (f \ left (x \ right) = - 2 \ ln x - 1 \). A kritikus pontok: \ [f „\ left (x \ right) = - 2 \ ln x - 1> \ right) ^ \ prime >> = = 0,> \, \, \, \, \; - 2 >> = 0> \; \; \; \; \; - 2 = 0,> \; \; \; \; \; = 1> \; \; \; \; \; \] A három kritikus pontok \ (x = -1 \), \ (x = 0 \), \ (x = 1 \) állapotban \ (x> 0 \) kielégíti csak az utolsó pont \ (x = 1 \). Ahhoz, hogy a bal-származék negatív, és a jobb oldalon - pozitív. Következésképpen, ezen a ponton a funkciót minimális egyenlő \ [f \ bal (1 \ right) = 1 - 2 \ ln 1 - 1 = 0. \] Így, \ (f (x) \ ge 0 \), ha a \ ( x> 0 \) (és nulla ennél \ (x = 1 \)). Ebben az esetben, \ [- 2 \ ln x - 1 \ ge 0, \, \, \, \, \; \ Rightarrow \; \ ;. 1 + 2 \ ln x \ le \]
Igazoljuk, hogy az \ (x> 0 \) egyenlőtlenség \ (\ ln x \ le x - 1 \).
Vezessük be a függvény \ (f \ left (x \ right) = \ ln x - x + 1 \). Ez a funkció határozza a \ (x> 0 \). Deriváltja egyenlő \ [f „\ left (x \ right) = \ right) ^ \ prime> = \ frac - 1. \], ha a \ (0 1 \) - a negatív. Következésképpen, azon a ponton, \ (x = 1 \) függvény \ (f (x) \) van egy maximális egyenlő \ [f \ bal (1 \ right) = \ ln 1 - 1 + 1 = 0. \] Tehát, a \ (x> 0 \) egyenlőtlenség \ [f \ left (x \ right) \ le 0, \, \, \, \, \; \; \; \; \; \; \]
Igazoljuk az egyenlőtlenséget \ (\ nagy \ frac> \ normalsize \ le \ ln \ nagy \ frac \ normalsize \ le \ nagy \ frac> \), feltéve, \ (0 1 + x \).
Tekintsük az \ (f \ left (x \ right) = - x - 1 \). Megvizsgáljuk, hogy a monotonitás. A származékot van írva, mint \ [f „\ left (x \ right) = - x - 1> \ right) ^ \ prime> = - 1. \], ha a \ (x 0 \) - pozitív (1. ábra). Következésképpen, a függvény \ (f (x) \) csökken, \ (x 0 \). Azon a ponton, \ (x = 0 \), hogy van egy maximális. egyenlő \ [f \ bal (0 \ right) = - 0 - 1 = 0. \] Következésképpen, a függvény \ (f (x) \) pozitív mindenhol, kivéve a ponton \ (x = 0 \). Az eredmény egy \ [f \ left (x \ right)> 0, \, \, \, \, \; - X - 1> 0,> \, \, \, \, \> 1 + x \; \; \ left (\ jobbra)> \].
Bizonyítsuk be, hogy az intervallum \ (\ left (> \ right) \) egyenlőtlenség \ (\ sin x + \ tan x> 2x \).
Interval \ (\ left (> \ right) \) a változó \ (x \) megfelel az intervallum \ ((0, 1) \) a változó \ (z \). Ez a változó \ (z \) pozitív, vagyis függvény \ (f (x) \) a tartományban \ (\ left (> \ right) \) monoton növekszik.
Mivel a \ [f \ left (0 \ right) = \ sin 0 + \ tan 0-2 \ cdot 0 = 0, \] akkor nyilvánvalóan intervallumban \ (\ left (> \ right) \) függvény \ (f (x) \) pozitív. Következésképpen, \ [\ sin x + \ tan x - 2x> 0, \, \, \; 2x, \; \ x \ in \ left (> \ right)> \].