Igazolása bizonyos egyenlőtlenségek - studopediya

Nézzük meg néhány bizonyíték egyenlőtlenségeket. Módszerek a bizonyítás a következők:

- egyenlőtlenség által kifejtett transzformációk tulajdonságai alapján az egyenlőtlenségek és megőrzése azok egyenértékűségét, csökkenti az egyenlőtlenség, amely ismert az igazságért;

- révén egyenértékű transzformációk nyilvánvalóak, illetve ismert, hogy csökkenti az egyenlőtlenség bizonyítja az egyenlőtlenséget;

- elegyítjük az első és a második eljárás, amely átalakítható az ismert és az bizonyult egyenlőtlenséget.

Alkalmazási példák szemléltetik ezeket a módszereket.

Példa. Lássuk be az egyenlőtlenséget.

Bizonyítás. Tény, hogy a különbséget. Nyilvánvaló, hogy. ezért. ahol az egyenlőség eléréséig csak. Egyenlőtlenség bizonyult.

Példa. Lássuk be az egyenlőtlenséget.

Bizonyítás. Ettől. . . akkor az egyenlőtlenség válik :.

Ez az egyenlőtlenség a négyszögesítése az egyenértékű :. azaz, ez nyilvánvaló.

Megjegyezzük, hogy az egyenlőség is elérhető, ha a szám, és ugyanaz a jel, vagy legalább egyikük értéke nulla.

Példa. Lássuk be az egyenlőtlenséget.

Bizonyítás. Valójában ,.

Tehát sem. Egyenlőtlenség bizonyult.

Példa. Lássuk be az egyenlőtlenséget. if.

Bizonyítás. A szám az átlagos és a szám - a geometriai átlag.

Más szóval, azt mutatják, hogy a számtani átlaga két nem-negatív számok nem kisebbek, mint a geometriai átlag.

Ennek bizonyítására vesszük a különbséget.

Ezért. . sőt, az egyenlőség csak úgy érhető el, hogy mikor. ami csak akkor lehetséges, ha. Egyenlőtlenség bizonyult.

Megjegyzés. A fogalmak a számtani átlag és a mértani közepet kell beírni, és a nem-negatív számok ebben az esetben az egyenlőtlenség :. egyenlőséggel csak. Egyenlőtlenség bizonyult.

Példa. Lássuk be az egyenlőtlenséget. és ha egyébként az egyenlőség csak úgy érhető el, hogy mikor.

Bizonyítás. Sőt, a számok pozitívak. Ezért, a számtani átlaga a számok, és nem kevesebb, mint a geometriai átlag, sem. egyenlőség csak akkor, ha. azaz, ha. mivel mindkét - pozitív. Egyenlőtlenség bizonyult.

Példa. Lássuk be az egyenlőtlenséget. if. . egyenlőséggel csak.

Bizonyítás. Tény, hogy

Példa. Bizonyítsuk be, hogy.

Határozat. Hozzáadott három jól ismert egyenlőtlenség. . . Kapunk.

Példa. Bizonyítsuk be, hogy. if.

Határozat. Szorzás egyenlőtlenség. . .

Példa. Bizonyítsuk be, hogy. if.

Határozat. Az általunk használt egyenértékűségét egyenlőtlenségeket. Egyenlőtlenség bizonyult.

Az igazolás bizonyos egyenlőtlenségek kényelmesen használható helyettesítő adat értékek más.

Példa. Bizonyítsuk be, hogy. if. .

Határozat. Elhelyezés. felírhatjuk egyenlőtlenség formájában. . egyenértékű ismert.