A gyűjtemény algebra problémák

Lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek I

15. § Egyes módon bizonyítani egyenlőtlenségek

Bizonyítsuk be az egyenlőtlenséget, amely a betűk -, hogy megmutassa, hogy kielégíti bármely jogi vagy speciálisan meghatározott értékek ezeket a leveleket.

Vannak különböző módon bizonyítása egyenlőtlenségeket. Mi illusztrálására néhány ilyen példákat.

Példa 1. Igazoljuk, hogy bármely pozitív számok a és b eleget az egyenlőtlenség

ahol egyenlőség akkor és csak akkor, ha a = b.

1. utat. Nézzük meg a különbséget

Meg lehet csökkenteni formájában:

Ezért. És ez azt is jelenti, hogy.

Az egyenlőségjel egyenlet (1) akkor és csak akkor, ha √ a - √ b = 0, azaz, ha a = b ..

2. utat. Tegyük fel, hogy ez az egyenlőtlenség igaz. Ezután megszorozzuk mindkét oldalán 2, megkapjuk:

Visszük 2 √ ab a bal oldali:

Végül átírjuk egyenlőtlenség formájában kapjuk a

Az utolsó egyenlőtlenség nyilván igaz minden pozitív egész szám, és a és b. ahol egyenlőség ott érhető el, ha csak, ha a = b. Így ez az egyenlőtlenség már csökkentették a nyilvánvaló egyenlőtlenség. Most termelő valamennyi érvet fordított sorrendben, be fogjuk bizonyítani, ez az egyenlőtlenség.

Bármilyen pozitív egész szám a és b, van:

Az egyenlőségjel ebben az esetben akkor, ha a = b. Átvitele - 2√ ab hogy a jobb oldalon, megkapjuk a + b> 2√ ab. hol.

Az egykor nehéz kitalálni, hogy a bizonyítás az egyenlőtlenség (1) kell kezdeni a nyilvánvaló egyenlőtlenség (2). Ezért volt, hogy egy előre feltételezés, hogy (1) igaz, és kap jóváhagyást egyenlőtlenség (2).

2. példa Annak bizonyítására, hogy ha a termék pozitív egész x és y értéke 1, akkor (1 + x) (1 + y)> 4.

Bizonyítás. A napokban csak bizonyítani egyenlőtlenség

Hasonlóképpen, azt mutatja, hogy 1 + y> 2√ y. Terminusonként szaporodását ezen egyenlőtlenségek hozamok:

De a feltétel xy = 1 Ezért

Bizonyítsuk egyenlőtlenség (№ 111-117):

118. A repülőgép repül a Moszkva és Kijev vissza. A mi időjárás a repülés lesz elérni gyorsabban: nyugodt vagy ha szél állandó erő irányába Budapest - Kijev?

119. Igazoljuk, hogy egy fél-kerülete a háromszög felett mindegyik oldalán.

120 *. bizonyítják az egyenlőtlenséget

118. Gyorsabb nyugodt időjárás.